[Dingler: GEOMETRIE UND WIRKLICHKEIT]

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Hugo Dingler: Gesammelte Werke

In: Dialectica 9 (1955), S. 341-362 und 10 (1956), S. 80-93.

GEOMETRIE UND WIRKLICHKEIT

von Hugo DINGLER

Gelegentlich der Brüsseler Logikertagung am 28./29. August 1953 hat Herr F. Gonseth unter dem Titel La preuve dans les sciences du réel Thesen aufgestellt, von denen die dritte lautet: Prouve-t-on des faits scientifiques isolés? Ce que dit, à cet égard, le principe d'intégralité.

Herr Gonseth hat hier, wie mir scheint, den Finger auf einen sehr wesentlichen Punkt gelegt. Inwieweit ist das Problem der Geometrie in der Wirklichkeit von allgemeinen Prinzipien abhängig, oder kann es völlig unabhängig behandelt werden?

Die folgenden Überlegungen möchten versuchen, einen Beitrag zu geben, um diese Frage zu beantworten. Sie beschäftigen sich mit dem Problem der Wirklichkeit, das bisher in den theoretischen Wissenschaften vielleicht eine etwas zu geringe Pflege gefunden hat.

I.

1) Als man auf den Gedanken kam das umstrittene euklidische Parallelenaxiom einmal durch eine Negation desselben zu ersetzen (für das Geschichtliche, das nicht den Gegenstand dieser Arbeit bilden soll, siehe F. Engel und P. Stäckel, Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis Gauss, Leipzig 1895), da konnte man keinen Widerspruch im Aufbau einer solchen »nichteuklidischen Geometrie« (n. e. G.) finden. Diese n. e. G. konnten also widerspruchslos aufgebaut werden, sie besassen »mathematische oder logische Existenz«. Man drückte das auch so aus, dass man sagte, die Mathematik habe gefunden, dass auch andere Geometrien »logisch möglich« seien. Hier ist sogleich eine Anmerkung zu machen. Woher nahm man das Recht, diese logischen Gebäude oder Schematismen als »Geometrien« zu bezeichnen? Man glaubte dieses Recht zu haben, weil die zuerst gefundenen n. e. G. (die elliptische und die hyperbolische, wie sie F. Klein nannte) eine starke äussere Ähnlichkeit mit der euklidischen Geometrie (e. G.) zeigten. Vom logischen Gesichtspunkt aus konnte aber etwas dagegen eingewendet werden. Ausser der e. G. selbst besass man nämlich keine Definition des Terminus »Geometrie«. Also konnte man auch nicht beweisen, dass die n. e. G. überhaupt in einem strengen Sinne »Geometrien« seien. Denn von einem nicht definierten Begriff kann man auch keine bündige Aussage machen. Als dann der neugeschaffene Begriff der n. e. G. durch Riemann sich überaus erweiterte, hätte man bemerken können, dass kein konzises Kennzeichen vorhanden war, welches einen Schematismus als »Geometrie« oder als Teil einer solchen charakterisierte. Die Entdeckung sagte also eigentlich nicht mehr, als dass neben dem Schematismus der e. G. auch noch andere Schematismen möglich seien.

Was aber doch ein erhebliches Interesse auf diese Untersuchungen lenkte (neben ihrer rein formallogischen Natur), das war sicher die Vermutung, dass in ihnen auch eine Beziehung zur »Wirklichkeit« stecken könne. Durch eine Art von »Kurzschluss« verstand man das Resultat bald dahin, dass damit nachgewiesen sei, dass auch in der Wirklichkeit verschiedene Geometrien »möglich« seien. Dafür besass man nun aber keinerlei echte Begründung. Wenn man schon nicht wusste, was »Geometrie« eigentlich sei, dann konnte man offensichtlich auch nichts Bündiges darüber aussagen, welche Arten von Geometrien real möglich seien. Was wusste man denn von dieser Wirklichkeit?

Die e. G. war von den Griechen in der Meinung aufgestellt worden, dass sie für die Wirklichkeit »gelte«. Wie und warum dies der Fall sei, hatten sie nicht zu zeigen vermocht. Manches deutet darauf hin, dass sie noch Verbindung zum Handwerk besassen. In der Tat war diese Geometrie in der Baukunst, der Steinmetzerei, der Tischlerei, der Vermessung, der Astronomie, im Zeichnen, in der Technik und bei physikalischen Problemen mit Erfolg angewendet worden. Warum das möglich war, wusste man nicht. Man sprach immer davon, dass die Geometrie die Eigenschaften des »Raumes« darstelle. Aber auch von diesem Raum wusste man nicht, ob und was er sei. Man wusste von ihm nur eben »die Geometrie«. Praktisch also galt in strengem Sinn: Raum = das, was man von der Geometrie weiss.

Die neuere Erkenntnistheorie zeigte zwei entgegengesetzte Meinungen. Die »Empiristen« waren der Überzeugung, dass die Geometrie in der Wirklichkeit selbst liege (bei Plato hatte der Demiurg die Welt nach den Gesetzen der Geometrie aufgebaut). Kant dagegen hatte gelehrt, dass der Mensch die Geometrie auf eine unbewusste Weise in die Wirklichkeit lege, nämlich durch die »reine Anschauung« die Kant ohne echten Beweis als gegeben annahm. Für keine der beiden Auffassungen aber bestand eine bindende Begründung. Kant hatte von n. e. G. noch nichts gewusst (diese wurde erst seit ca. 1865 bekannt). Da er aber »Sensualist« war, das heisst das Gegebene als Phänomene betrachtete, die durch die Sinne in uns gelangen sollten, so schien es ihm denkbar, dass diese Phänomene dann in unserem Geiste durch die reine Anschauung irgendwie geometrisch geformt würden.

Der Empirist aber musste annehmen, dass man durch genaue Untersuchung der Wirklichkeit, speziell durch Messung, ausfindig machen könne, welche Geometrie hier »gelte«. Es war aber klar, dass durch die stets ungenaue Messung niemals eine genaue, ideale Kenntnis der Geometrie zu gewinnen sei.

Unter »Wirklichkeit« ist hier die allen normalen Menschen gemeinsame, objektive Aussenwelt zu verstehen. Für den Sensualisten ist deren, von der menschlichen Wahrnehmung abhängige Existenz selbst wieder fraglich. Ich konnte zeigen (1942, siehe auch Grundriss der methodischen Philosophie, Kempten i. Allg. 1949, Kap. 3), dass der Sensualismus selbst schon eine konstruktive Theorie darstellt, also niemals den Ausgangspunkt des Denkens über die Welt bilden kann, dass vielmehr »das Unberührte« das eigentliche Gegebene ist. Aber diese Unterscheidungen sind für unseren Zweck hier nicht sehr wichtig, wenn überhaupt ein abgegrenztes Gebiet objektiver Realität anerkannt wird. Jedenfalls unterscheiden wir diese an Details unerschöpfliche reale Aussenwelt von der Innenwelt mit ihren Gefühlen, Gedanken, Strebungen. Letztere hat jeder nur für sich, die Innenwelt ist »subjektiv«. Die Innenwelt ist der Ort des Wollens und Planens, welche das Reale nur mit Hilfe der »Grundfähigkeiten« der Körperbewegungen usw. zu verändern vermögen. So wird das Wirkliche auch der Bereich des Handelns mit den Händen, des »Machens«, des »Manuell-Operativen«. Innerhalb des Wirklichen unterscheiden wir noch denjenigen Teil, der nicht in bekannter Weise von menschlichen Einwirkungen betroffen wird und verändert ist. Es ist die »Natur«.

Der einzige Zugang, den man in der Theorie zur Wirklichkeit zu haben glaubte, war das messende Experiment. Dass es noch einen zweiten Zugang gab, den der Realisierung, war zwar im praktischen geläufig, hatte aber im theoretischen Denken noch keinen Platz gefunden.

Es stand also jetzt die Lage so: Die Mathematik stellte allerlei Arten von Schematismen her, die man als Geometrien bezeichnete. Die Verbindung zur Wirklichkeit entstand dann dadurch, dass man in der Wirklichkeit Messungen anstellte und nun verglich, zu welcher der auf Vorrat hergestellten theoretischen Geometrien diese Messungen passten.

Mit dieser Auffassung war für die theoretische Geometrie das Band zur Wirklichkeit sehr dünn geworden. Wenn bei Euklid noch Spuren vorhanden waren, die eine frühere Verbindung mit dem Handwerk merken liessen (zum Beispiel seine Ebenendefinition ist mit aller Wahrscheinlichkeit von den Steinmetzen genommen), so war nun die Geometrie ein sozusagen in der freien Luft konstruiertes geistiges, rein logisches Gebilde, das erst später eine eventuelle Anwendung zur Erklärung von Messungen fand. Hier wird der Mangel einer Definition des Begriffes »Geometrie« besonders deutlich. Die hier aufdämmernde Möglichkeit, schliesslich die ganze Physik überhaupt als eine Geometrie aufzufassen, wurde gelegentlich gestreift, doch soll uns das hier nicht weiter beschäftigen. (Ich habe die obige Auffassung einmal als »empirischen Matrizenapriorismus« bezeichnet, siehe Das Experiment, München 1928, Seite 39.)

Man kann den Mathematikern aus dieser Entwicklung keinen Vorwurf machen. Denn die Verbindung zur Wirklichkeit gehörte streng genommen nicht mehr zu ihrem Fachbereich. Der Mathematiker Felix Klein, der in den siebziger Jahren im Mittelpunkt der Forschungen zur n. e. G. stand, hat in seinem berühmten Erlanger Programm (1872, S. 45) deutlich ausgesprochen, dass das Verhältnis der Geometrie zur Wirklichkeit ausserhalb des Bereiches der Mathematik liege. Er sagt: »Aber die Fragestellung ist offenbar eine philosophische, welche die allgemeinsten Grundlagen unserer Erkenntnis betrifft. Den Mathematiker als solchen interessiert diese Fragestellung nicht.« Er fährt fort: »Die Untersuchungen der Mathematiker möchten unabhängig davon sein, wie man diese Frage beantwortet.« Das aber heisst, wie wir heute sagen würden: Der Mathematiker hält sich allein an die rein logischen Zusammenhänge, das heisst seine Arbeit beschränkt sich auf die hypothetisch-deduktiven Systeme (HD-Systeme). Damit stellt Klein fest, dass die Mathematik keine Mittel besitzt, um die Frage der Wirklichkeit zu behandeln.

2) Nun hätte man denken sollen, dass die Beziehung zur Wirklichkeit Sache der Physik gewesen sei. Diese jedoch besass als einzige Verbindung zur Wirklichkeit das messende Experiment. Dieses leistete an seinem Ort zwar Vortreffliches, aber ob gerade die Geometrie ebenfalls von daher behandelt werden könne, das war eben das Problem und die Physik besass kein Mittel, es zu lösen.

Heute steht es wohl etwas anders. In allen Kulturstaaten haben sich Gruppen von gelernten Mathematikern gebildet, welche sich Fragen der Grundlagenforschung und der Logik zum Thema gemacht haben. Ich halte diese Entwicklung für äusserst hoffnungsvoll. Es scheint zwar, dass diese Forscher von ihrer mathematischen Herkunft her noch stark die Kleinsche Beschränkung auf das Deduktiv-Logische mit sich tragen. Die aufkommende operationistische Bewegung (siehe m. Aufsatz: »Empirismus und Operationismus«, Dialectica VI, S. 343-376) dürfte aber, wie ich hoffe, diese Beschränkung nach und nach durchbrechen, so dass auch die Wirklichkeit und die Verbindung mit ihr in den Kreis der Forschung aufgenommen wird. Dass auch hiebei bündige und exakte Verfahren der Forschung möglich sind, glaube ich in meinen Schriften gezeigt zu haben. Ist dieser Durchbruch aber einmal erfolgt, dann wird diese Gruppe auch diejenige Problematik exakt behandeln, die bisher der theoretischen Philosophie vorbehalten war.

Es erweist sich also als wünschenswert, dass eine Durchbrechung der Kleinschen Beschränkung der Untersuchung in Richtung auf die Wirklichkeit eintritt. Und zwar von Seiten derjenigen Forscher, die sich mit den Grundlagenfragen beschäftigen. Die Problematik setzt eine fachliche Beziehung zur Mathematik voraus, welche die Philosophie im bisherigen Sinne meist nicht zu liefern vermag. So müsste eigentlich die erwähnte Gruppe der von der Mathematik herkommenden Grundlagenforscher ihr Interesse auf diese Fragen ausdehnen. Das aber setzt eine bewusste Durchbrechung der Kleinschen Beschränkung voraus. Diese liegt, wie mir scheint, schon im Hilbertschen Begriff der »Metamathematik« in einiger Hinsicht vor. Aber es scheint nötig zu sein, sich prinzipielle Gedanken darüber zu machen, wie und inwieweit Möglichkeiten zu einer exakten Erweiterung der Denkmittel vorhanden sind, welche erlauben auch das Problem des Zusammenhangs mit der Wirklichkeit in Angriff zu nehmen. Wenn ich mich nicht täusche, so haben die Thesen, welche Ch. Perelman gelegentlich der Brüsseler Logikertagung 1953 vorlegte, schon in Richtung einer Erweiterung tendiert, ebenso die von P. Bernays und F. Gonseth und anderen. Unsere Darlegungen hier möchten einen Beitrag leisten, solche exakte Denkmittel aufzuweisen (wie ich das seit Beginn meiner wissenschaftlichen Arbeit mir zum Ziele gemacht hatte).

Kehren wir zu unserem Thema zurück.

Bald nach 1900 bemächtigte sich die theoretische Physik der in der n. e. G. gebotenen mathematischen Möglichkeiten. Als Zweig der Mathematik hatte natürlich auch sie in dieser Zeit keinen anderen Weg zur Verfügung als den bisher genannten, das heisst die mathematische Deutung der von den Messungen gelieferten Zahlentabellen. Aber in Verfolg dieses Weges brachte sie doch einen neuen Gedanken ins Feld, der mit unserem Problem eine Beziehung hat. Wir wollen versuchen, ihn folgendermassen zu skizzieren:

Wenn es gelänge, sozusagen »die mathematische Struktur des Universums als Ganzem« auf der Basis der zurzeit vorhandenen empirischen Messungen der Physik zu fassen, dann könnte es vielleicht sein, dass man Gründe anführen könnte, welche nahelegen würden, dass in diesem Strukturgebilde eine bestimmte Art von Geometrie sich analytisch am besten einfügen würde. Dieser Gedanke ist bei aller Breite der Konzeption mit Unsicherheiten gespickt. Zunächst ist das Gemessene nur eine ganz dünne Schicht des zu Erforschenden, und niemand kann ahnen, was sich noch weiter ergeben wird. So würde das Ergebnis nur ein momentanes sein. Ferner sind sämtliche Messungen von beschränkter Genauigkeit, so dass niemand sagen kann, ob bei etwas anderer Darstellung innerhalb derselben Messungsgenauigkeit nicht eine ganz andere Geometrie herauskäme. Vor allem aber beruht dieser Gedanke auf der unbewiesenen Annahme, dass Geometrie überhaupt etwas sei, das auf diese Weise festgestellt werden könne. Wir sahen oben, dass bei der Undefiniertheit des Begriffes Geometrie diese Annahme in keiner Weise bewiesen ist. Ich wage nicht, etwas darüber auszusagen, ob gewisse Entwicklungen der theoretischen Physik, die auf eine solche mathematische Weltstruktur hinzustreben scheinen, auf der soeben dargelegten Linie bezüglich der Geometrie liegen.

Das führt uns dazu, das Verfahren der heutigen theoretischen Physik in bezug auf ihre Verbindung mit der Wirklichkeit einen Moment etwas näher zu betrachten. Diese Verbindung mit der Wirklichkeit geht von Messungen aus, die von den zurzeit besten Messapparaten gewonnen sind. Der weitere wissenschaftliche Prozess spielt sich dann in sieben Stufen ab, die wir hier schematisch aufschreiben wollen (von unten nach oben zu lesen):

8) Aufstellung einer »Naturphilosophie« auf Grund dieser »bewiesenen« Prämissen P.

7) Aussage, dass durch 6 diese Prämissen P in ihrer Realgeltung »bewiesen« seien.

6) Aufsuchung von Prämissen P, aus denen D ableitbar ist (unendlich vieldeutig).

5) Auffindung einer Differentialgleichung D, deren Lösung F ist (auch meist approximativ).

4) Auffindung einer mathematischen Funktion F, welche K darstellt (approximativ und unendlich vieldeutig).

3) Legung einer empirischen Kurve K durch die gewonnenen Punkte (approximativ).

2) Tabelle der gemessenen Zahlen (Messung stets approximativ).

1) Messapparat.

Auf dieser Stufenleiter von Operationen kann eine n. e. G. erst in Stufe 6 auftreten. Von hier aus würde sie dann in Stufe 7 als bewiesen und als in der Wirklichkeit geltend behauptet und von da in die Naturphilosophie in 8 eingehen. Das ist also der Weg, auf die theoretische Physik eine n. e. G. einführt. Nähere Betrachtung zeigt aber, dass die Beweiskraft dieses Weges recht gering ist. Die Stufen 2 bis 6 sind alle approximativ oder unendlich vieldeutig. Die Stufen 1 bis 5 gehören zur notwendigen physikalischen Routine in empirisch erforschten Gebieten. Ihre approximative Natur ist dem Physiker bekannt und gewohnt, da er alle seine Produkte als approximativ auffasst. Physikalisch kann nichts gegen sie eingewendet werden. Stufe 6 bringt die Möglichkeit zu mathematischen Behandlungen, die innerhalb der Genauigkeit eine, wenn auch vorläufige mathematische Berechnung ermöglichen und auf neue Experimente aufmerksam machen können. Da die Physik im empirisch Gemessenen sowieso nicht mehr erstreben kann als im Bereich der Genauigkeit zu bleiben, so liegen hier legitime Verfahren vor.

Bedenken ernster Art erheben sich jedoch gegen Stufe 7. Niemand vermag einen Überblick zu haben, von welchen anderen Prämissen D noch ableitbar sein könnte. Damit aber würden auch jeweils ganz verschiedene Aussagen über die Welt resultieren, die alle nach diesem Verfahren völlig gleichberechtigt wären. Die Behauptungen von Stufe 7 müssen also als unbewiesen betrachtet werden und das Gleiche gilt dann von Stufe 8. Stufe 7 und 8 können ferner im wissenschaftlichen Sinne nichts beitragen, was als bewiesen zu betrachten wäre.

Da n. e. G. nur in Stufe 6, 7, 8 auftreten können, so erhellt nach dem Gesagten, dass sie zwar als rein rechnerisches Verfahren einmal auftreten können, dass aber jede Aussage über eine Bewiesenheit und Realität im direkten Sinne unfundiert ist. Auch dieser Weg vermag über die Realgeltung einer n. e. G. keine fundierte Aussage zu ergeben.

3) Wenden wir uns also wieder dem Geometrieproblem zu. Dem Logiker muss hier sogleich der Umstand auffällig sein, dass die Grundbegriffe der Geometrie (Ebene, Gerade, deformationsfreier Körper) keine echten Definitionen besitzen, welche die Basis der Aussagen über diese Begriffe bilden könnten. Ebenso besteht keine echte Definition des Begriffes »Geometrie« als Ganzer. Das einzige, was mit voller Sicherheit besteht, ist der Schematismus der euklidischen Geometrie in seiner traditionellen Form, aber nur ohne Definitionen der Grundbegriffe. Als solche ist aber diese traditionelle Geometrie bisher ein erkenntnismässig rätselhaftes Gebilde.

Dass zum Beispiel Ebene und Gerade nicht echt definiert waren, wurde von jeher als eine Lücke empfunden. Zwar gibt Euklid am Anfang seines Werkes die Horoi oder Definitiones. Aber diese werden von ihm nie benutzt, waren also logisch für seinen Aufbau völlig bedeutungslos. Vielleicht deuten sie auf eine frühere Zeit hin, wo noch eine Art Verbindung mit dem Handwerk bestand. So erklärt Euklid dort: »Ebene ist diejenige Fläche, die gleichmässig zwischen ihren Geraden liegt.« Es ist äusserst wahrscheinlich, dass diese Erklärung vom Verfahren der Steinmetzen genommen ist (s. m. Über die Geschichte u. d. Wesen des Experiments, München 1952, S. 7). Aus diesem Satze hätte man nur dann Aussagen über die Ebene ableiten können, wenn über die Begriffe »gleichmässig liegen, zwischen« noch andere geeignete Sätze vorhanden gewesen wären. Solche fehlten aber. Auch Christophorus Clavius weiss in seinem bekannten sehr ausführlichen Werke Euclidis Elementorum libri XV, Frankofurti 1607, Bd. I) keine Definition zu geben. Noch C. F. Gauss versuchte gelegentlich die Ebene durch die Gerade zu definieren. D. Hilbert verzichtete gänzlich auf Definitionen und wohl von ihm stammte der Gedanke, dass die Grundbegriffe der Geometrie durch die Axiome definiert seien, man nannte das »implizite Definition«. Dass diese implizite Definition versagt, zeigte Jos. Wellstein (Enzyklopädie der Elementarmathematik, Bd. II, Leipzig, zuerst 1905). Er bewies, dass es unendlich viele Systeme von Flächen und Kurven gebe, die von Ebene und Gerade völlig verschieden sind (s. l. c. S. 30. 109. 126 u. ö.), die unter sich genau dieselben Relationen erfüllen, wie sie die Axiome der Geometrie bei Hilbert verlangen. Die Axiome waren also weit davon entfernt die Gestalt von Ebene und Gerade festzulegen und diese eindeutig zu definieren. Man wusste also in der Tat nicht, was begrifflich eine Ebene sei.

Nun gab es aber doch in der Natur gelegentlich Flächen, die man als Ebenen ansprach (zum Beispiel eine ruhige Wasseroberfläche). Woher nahm man das Recht dazu, wenn man nicht wusste, was eine Ebene sei? Vielleicht, weil sie dem als geradlinig angenommenen Lichtstrahl gegenüber sich als Ebene verhielt. Vielleicht auch noch mehr, weil man traditionell irgendwie praktisch wusste, was eine Ebene oder Gerade sei, denn überall wurden solche benutzt. Von irgendwoher musste also eindeutig bestimmt sein, was sie seien. Nur steckte das nicht in den Axiomen und man kannte keine echte Definition. Hier lag das Rätsel. Wellstein sagt (l. c. 2. Aufl., S. 139): »Wenn man in das Lineal (angenähert) die in den Axiomen geforderten Gesetzmässigkeiten hineinlegen könnte... Aber das gibt es nicht; wir benutzen zur Herstellung des Lineals nicht die in den Axiomen verlangte Gesetzmässigkeit, sondern die Lichtbewegung, indem wir dafür sorgen, dass seine Kante beim Visieren zu einem Punkt zusammenschrumpft, vielleicht ist auch die Kante nur mit rein mechanischen Mitteln »gerade« gemacht worden.« Wir sehen, auch Wellstein, einer der ganz wenigen, die sich überhaupt über die Herstellung einmal Gedanken machten, ist nicht bis zu den Stellen vorgedrungen, wo Ebenen und Geraden wirklich gemacht wurden. Wahrscheinlich hat er aber dieses Verfahren als unwichtig betrachtet, weil dort »nur mit rein mechanischen Mitteln« gearbeitet wurde. Vielleicht ist er auch dem häufigen Fehler unterlegen, eine Prüfungsmethode des Lineals mit dessen Herstellung zu verwechseln.

Ich selbst hatte mir oft die Frage gestellt, wie die käuflichen Ebenen und Geraden (z.B. Reissbrett und Reisschiene) wohl zustande kommen könnten. Da bei der Herstellung nach einem Muster das Produkt immer weniger genau sein muss als das Original, so kam ich zu dem scheinbar paradoxen Schluss, dass die genaueste Ebene, die genaueste Gerade sozusagen »am Anfang« stehen müsse. Es musste also ein Verfahren existieren, genaueste Ebenen ohne Muster, das heisst sozusagen aus der freien Natur heraus herzustellen. Am 2. Januar 1909 fand ich Gelegenheit, den Besitzer einer Präzisionswerkzeugfabrik kennen zu lernen (Herrn G. Elshorst aus Aschaffenburg). Als er nach längerem Hin und Her verstand, dass ich ihn fragte, wie die erste Ebene, sozusagen die Grundebene seines Betriebes, hergestellt worden sei und immer wieder hergestellt würde, da erhielt ich zum ersten Mal Kunde von dem »Dreiplattenverfahren«. Man nimmt drei grob vorgeebnete Stahlplatten und schleift sie gegenseitig solange aufeinander ab, bis sie wechselweise adhärieren (s. m. Grundlagen der angewandten Geometrie, Leipzig 1911, erschienen 1910, S. 21 u. ö.). Dieses Verfahren war seit längerer Zeit bekannt (bisher nachweisbar seit dem 18. Jahrhundert, die Geschichte liegt noch sehr im Dunkeln, s. m. Über die Geschichte u. d. Wesen des Experiments, München 1952). Ernst Mach erwähnt es kurz in Erkenntnis und Irrtum, Leipzig 1905, S. 363[1]. Er schreibt dort: »Die Ebene wird körperlich dargestellt, indem man ...« und schildert kurz das Verfahren. Diese Ausdrucksweise ist von Bedeutung, denn sie enthält wohl den Grund, warum dieses Verfahren im theoretischen keinerlei Beachtung fand. Diese Ausdrucksweise lässt nämlich erkennen, dass der Autor meint, die Ebene sei schon anderweitig bestimmt und dies sei nur ein Verfahren, sie »körperlich darzustellen«. Aber das war ein Irrtum. Die Ebene war nicht anderweitig logisch bestimmt.

Da ich mich seit Jahren um eine echte Definition der Ebene bemüht hatte, also um eine solche, die auch in der Wirklichkeit diese eindeutig bestimmt, so war mir alsbald klar, dass ich hier endlich das Gesuchte vor mir hatte. Wenn man dieses Verfahren geeignet in Worte fasste, so musste diese Aussage eine echte verbale Definition der Ebene enthalten und, da diese Definition eindeutig war, so mussten aus ihr rein logisch alle Aussagen über die Ebene abgeleitet werden können. Dann war aber dieses Verfahren nicht eine »nur mit rein mechanischen Mitteln« arbeitende Art der Ebenenherstellung, nicht nur eine »körperliche Darstellung«, sondern es enthielt die eindeutige Definition selbst. Die Ebene wird hier definiert als diejenige Fläche, deren beide Flächenseiten in jeder Lage kongruent sind, das heisst vertauscht werden können (das »in jeder Lage« wird praktisch durch das Schleifen erreicht). Es ist geometrisch klar, dass die Ebene die einzige derartige Fläche ist. Bei einer Kugelfläche wäre zum Beispiel der dritte Schleifkörper niemals gleichzeitig mit beiden Seiten adhärent. Diese Ebene ist gleichzeitig diejenige Fläche, die bezüglich ihrer beiden Seiten im ganzen und in jedem Stück »symmetrisch« ist.

Später gelang es mir noch, eine historische Angabe ausfindig zu machen, welche vielleicht die erste Entdeckung dieser Eigenschaft der Ebene bedeutet. Im Zweistromland sind Stellen vorhanden, wo die Ausgrabung die kontinuierliche Entwicklung der Ziegelformen von einfachen Lehmklumpen bis zu planparallelen Ziegeln erkennen lässt. Letztere treten seit dem 26. Jahrhundert vor Christus auf. Überlegt man sich den inneren Sinn dieser Entwicklung so erkennt man, dass es gerade die definierende Eigenschaft der Ebene ist, welche hier entscheidet. Nur planparallele Ziegel sind so beschaffen, dass sie in jeder Lage beliebig und ohne Zwischenraum mit jeder Seite aufeinander gelegt werden können. (Das geschichtliche Datum verdanke ich der freundlichen Antwort auf meine Anfrage bei Prof. V. Christian in Wien vom 4. 5. 1929.)

4) Sobald also erkannt ist, dass das Dreiplattenverfahren den Anlass zu einer echten Definition der Ebene gibt, diese Definition also aussprechbar und vorhanden ist, ergeben sich einige bemerkenswerte Folgerungen:

a) Die entscheidende Eigenschaft der Ebene und ihre erste praktische Verwendung ist eine Erfindung des Menschen. Es scheint, dass wir sogar Ort und Zeit dieser Erfindung ungefähr kennen.

b) Die Ebene ist also nicht ein Naturgegenstand wie etwa ein Bergkristall oder ein Apfel. In der Natur kommen gelegentlich angenähert ebene Flächen vor. Aber da die Natur keine Definitionen und nichts absolut Exaktes zu geben vermag, so kann sie uns nicht die logische Rolle der Ebene als Basis der Geometrie vermitteln und niemals die eindeutige Idee der Ebene. Aber der menschliche Geist vermag eine Idee zu fassen und sich zu entschliessen, sie zur Basis der Geometrie zu wählen.

c) Aus Gründen der Logik muss es möglich sein, aus einer logisch absolut eindeutigen und daher vollständigen Bestimmung eines Begriffes alle Eigenschaften dieses Begriffes logisch abzuleiten. Zunächst also die hier von der Ebene (und der Geraden, welche der Schnitt zweier Ebenen ist) handelnden Axiome der Verknüpfung.

d) Diese Definition der Ebene gibt eine vollständige Übereinstimmung des Logischen und des Herstellerischen (des geistigen und manuellen Handelns) bei Ebene und Gerade, da diese Definitionen zugleich eine »Herstellungsanweisung« enthalten. Diese Herstellungsanweisung ist also zugleich eine Definition und wirkt als Axiom. Diese Umstände bewirken interessante Probleme der Wissenschaftslehre.

e) Diese Ebenendefinition ist unabhängig von dem weiteren Aufbau der Geometrie, speziell von der späteren Massgeometrie. Hier sei angemerkt, dass sie nicht, wie man meinen könnte, den Begriff des »deformationsfreien Körpers« (df. K.) voraussetzt. Dass beim Dreiplattenverfahren praktisch drei Stahlplatten benutzt werden, besagt nicht die logische Voraussetzung des df. K. Die Herstellung der Ebene ist zum Beispiel unabhängig von einer homogenen Temperaturänderung der drei Platten, und allgemein noch etwa von allen projektiven Transformationen und noch weiteren Deformationen, welche die Ebene als solche unberührt lassen. Es wird also nicht die Definition des df. K. vorausgesetzt.

f) Aus e) ergibt sich, dass also diese Definition der Ebene logisch unabhängig ist von den Axiomen, welche die Massgeometrie konstituieren. Sie ist also von dem Gegensatz »euklidisch - nichteuklidisch« nicht berührt. Diese Ebene ist weder euklidisch noch nichteuklidisch. Was hier definiert und hergestellt wird, ist also nicht etwa »die euklidische Ebene«, sondern »die Ebene überhaupt«.

g) Es ist zugleich die einzige vollsymmetrische Fläche.

h) Erinnert man sich der obigen 8 Stufen des Verfahrens wie die theoretische Physik zu Aussagen über eine n. e. G. gelangt, wo diese erst in der sechsten Stufe auftreten kann, und vergleicht dies mit der Untersuchung der Geometrie, die vom Dreiplattenverfahren ausgeht, so erkennt man, dass letztere Untersuchung sich an Stufe 1) wendet, beziehungsweise die Vorbedingungen zu Stufe 1) untersucht. Sie kann daher gewiss als sehr viel wirklichkeitsnäher bezeichnet werden.

5) Es muss vielleicht noch ein Wort gesagt werden über die Begriffe »Abstraktion« und »Idealisierung«. Manche haben gemeint, wenn ich eine empirische Fläche vor mir habe, die sich etwa wie eine Ebene verhält, dann brauche ich diese bloss zu »idealisieren« und von ihren »Ungenauigkeiten« zu »abstrahieren«, dann hätte ich die ideale Ebene. Diese »käme« also doch aus der Wirklichkeit.

Aber wenn ich weiss, in welcher Richtung ich die Fläche idealisieren muss, und welches die Ungenauigkeiten sind, von denen ich abstrahieren muss, dann habe ich ja die Idee der Ebene schon vorher. Also ist mit diesen Begriffen keine empirische »Herkunft« beweisbar. Auch handelt es sich nicht um die Herkunft, das heisst um die psychologischen Prozesse, welche etwa zuerst den Gedanken der Ebene in einem Menschen auftauchen liessen (das kann einmal tatsächlich durch eine empirische Ebene bewirkt worden sein - das besagt aber nichts für die Theorie der Ebene - wer aber kann das nachprüfen?), sondern es handelt sich um eine bewusste geistige Bestimmung oder Definition. Die psychologische Herkunft sagt nicht, dass diese Idee in der Natur gesteckt habe. In dieser stecken alle beliebigen Arten von Flächen. Entscheidend ist die bewusste Fassung des Definitionsgedankens und dessen Verwendung, um wirklich Flächen danach zu machen. Das aber ist nicht Natur, sondern Tätigkeit des Geistes.

 

II.

6) Die Aussagearten, die wir bisher verwendeten, waren im wesentlichen: historische Mitteilungen und Angaben über methodische Verfahren. Beide bedürfen keiner besonderen Beweise, da sie nur Tatsachen oder Willenseinstellungen beinhalten. Weiterhin aber müssen beweisbedürftige Aussagen gemacht werden und über solche ist noch etwas zu sagen.

Wir sahen, dass Felix Klein das Gebiet der Mathematik auf dem Bereich der sogenannten hypothetisch-deduktiven Systeme (HD-System) einschränkte. Er betonte, dass die Frage nach dem Geometrieproblem »offenbar« ausserhalb dieses Bereiches liege. In der Tat tritt der Begriff der »Wirklichkeit« in dem logischen Schematismus der Geometrie (etwa dem der Hilbertschen Axiome) nicht auf. Aus diesem Schematismus kann daher nichts über das Geometrieproblem geschlossen werden. Von ihm allein aus besteht kein Zugang zum Geometrieproblem. Auch der Begriff des Herstellens, Machens, kurz des Operativen kommt hier nicht vor.

Aus dieser Kleinschen Auffassung der Mathematik (die heute weitgehend akzeptiert ist) folgt also: Will ich das Geometrieproblem behandeln, so muss auf irgendeine Weise das Denken im rein deduktiven Sinn überschritten werden. Es müssen also Elemente hinzu genommen werden, die nicht im HD-System liegen.

Schon die Forderung einer Definition der Geometrie in diesem Sinne bildet eine solche Überschreitung. Aus dem Sinn des Begriffes Definition folgt, dass über einen Begriff nur soweit begründete Aussagen gemacht werden können, als der Inhalt seiner Definition erlaubt. Dies gilt auch von der Geometrie, die bisher nur in dem Schematismus der Axiome bestand, aber die Geometrie in der Wirklichkeit nicht eindeutig zu definieren vermochte. Um diese Definition eindeutig zu machen muss also etwas zu ihr hinzugefügt werden oder es muss die Geometrie im ganzen eindeutig definiert werden. Diese Aussagen fliessen bindend aus dem Begriff der eindeutigen Definition. Der einzige bisher vorliegende Versuch bestand in einer »Erweiterung«. Man fügte den Satz hinzu: »Das Geometrische in der Wirklichkeit muss durch Messung festgestellt werden.«

Dahinter stand nun das mythische Gefühl (denn etwas anderes war es nicht angesichts des Mangels aller Beweismittel), dass die Definition der Geometrie »in der Natur« liegen müsse. Die Meinung, dass überhaupt in der Natur Definitionen liegen könnten, hat keinerlei Beweis hinter sich, und auch keine Möglichkeit. Man könnte versuchen, sie durch Messung festzustellen. Alle Messapparate sind aber menschliche Formungen, deren Resultate also nicht unberührte Natur. Sie sind vielmehr infiltriert mit menschlichen Formbestimmungen. So müsste eine reine Naturdefinition sich der Messung enthalten. Eine genaue Abgrenzung, wie sie die Definition fordert, müsste also ohne Messung und zugleich für das ganze Weltall durchgeführt werden, um die Definition konkret und allgemein zu machen. Schon das wird genügen, um den Gedanken als abwegig zu erkennen.

Nun wurden aber doch gewisse experimentelle Handlungen so gedeutet, dass sie etwas über Geometrie ergäben. Dann folgt, dass in diesen Handlungen implizit eine Definition der Geometrie stecken musste. Diese steckte in dem Umstand, dass eindeutige Messapparate verwendet wurden, diese aber waren keiner eindeutigen Analyse ihrer Herstellungsweise unterzogen. So war also die hier implizit verwendete Definition der Geometrie als unbekannt zu betrachten.

Es bleibt also die unausweichliche Forderung bestehen, die Geometrie im ganzen vollständig zu definieren. Vom logischen Gesichtspunkt aus ist es stets exakter, diese Definition anzustreben, als von vorneherein auf eine Definition zu verzichten, wie es bisher der Fall war.

Man könnte nun meinen, dass strenges und eindeutiges Denken nur innerhalb von HD-Systemen möglich sei. Da wir aber sahen, dass das HD-System der Geometrie das Geometrieproblem nicht lösen kann, so müssen wir darauf ausgehen, uns klar zu werden ob nicht das Denken in HD-Systemen in exakter Weise überschritten werden kann.

7) Das »Dreiplattenverfahren« (3 Plv.) ist schon über hundert Jahre bekannt. Warum ist seine logische Bedeutung nicht früher gesehen worden? Ich glaube, dass ein wesentlicher Punkt der folgende ist:

Trägt man das 3 Plv. etwa einem mathematisch Interessierten vor, so erhebt sich fast stets der Einwand: Ist dabei nicht etwas »vorausgesetzt«? Gemeint ist: Würde da nicht eine Art von Zirkel vorliegen, so dass ich nicht ohne weiteres von hier aus den Anfang der Geometrie nehmen kann? Hier steht man ja innerhalb der »Wirklichkeit«, die von der Sphäre des rein logischen Schematismus der Geometrie nicht zu erreichen ist. Der einzige Zugang zu ihr, der bisher geläufig war, ging über das Physikalische, das heisst über die Messung.

Gerade gegenüber der Ebene bestand aber bei der Messung ein besonderes Verhältnis. Alle exakte Messung muss sich exakter Messapparate bedienen. Die primärste exakte Bestimmung eines Messapparates, der sich einer kontinuierlichen Skala bedient, ist aber gerade die Formbestimmung, das heisst das Geometrische. Ein solcher Apparat setzt also wichtige Teile des Geometrischen schon voraus. Es ist also klar, dass das 3 Plv. nichts »Gemessenes« voraussetzen kann. Dass das 3 Plv. den Begriff des deformationsfreien Körpers (df. K., sog. starrer Körper) voraussetze, wurde schon oben als unzutreffend erwiesen.

Aber konnte nicht auch anderes »vorausgesetzt« sein? Bei der völligen Ungeklärtheit des Begriffes des »Wirklichen« sah man wohl hier keinen Weg, sich auf strenge Weise Klarheit zu verschaffen.

Es kann sein, dass dieser Umstand (unter anderen) ein wichtiges Hemmnis war, sich die logischen Konsequenzen des 3 Plv. klar zu machen. Diese begriffliche Unklarheit, der man beim Wirklichen gegenüberzustehen glaubte, ist wohl mehrfach ein starkes Hemmnis gewesen.

8) Der entscheidende Punkt ist also die Frage: Gibt es überhaupt exakte Denkweisen, die über das reine diskursive Schlussdenken des Deduktiven hinausgehen?

Offenbar geht die eben behandelte Frage: »Was ist beim 3 Plv. vorausgesetzt?« über das diskursive Schlussdenken hinaus (wir wollen von »transdiskursiv« sprechen), denn aus logischen Schlüssen aus den Axiomen lässt sie sich nicht beantworten. Die Frage richtet sich vielmehr auf die Anordnung gewisser Schritte, geistiger und manueller Art, beim Aufbau der Wissenschaften (die Philosophen sprechen von »logischem Ort«).

Für diese Art von Fragen gibt es ein entscheidendes Prinzip, das eindeutig bindende Aussagen erlaubt. Ich habe es als »das Prinzip der pragmatischen Ordnung« (PO-Prinzip) bezeichnet. (Siehe m. Methode der Physik, München, 1938, S. 116 f. und früher schon.) Es ist daher nötig, auf dieses Prinzip etwas näher einzugehen.

9) Einen wesentlichen Kern des PO-Prinzips, das ersichtlich ein operatives Prinzip ist, kann man so formulieren: »In der Anordnung der Handlungen, welche zur Aufstellung exakter Wissenschaft führen, darf eine Handlungsstufe A nur dann einer anderen B, logisch, das heisst in der Ordnung, vorausgehen, wenn sie nicht ein Element benutzt, das erst mit B logisch gewonnen werden kann. (Siehe auch zum Beispiel m. Aufsatz A study in axiomatics, Methodos I. 1949, S. 1-21, früher schon Die Grundlagen der Naturphilosophie, Leipzig 1913, S. 230, und sonst als Prinzip der logischen Ordnung.)

Betrachten wir zur Veranschaulichung ein Beispiel: Offenbar ist für alle strenge Wissenschaft Logik benötigt (denn darin besteht ihre »Strenge«). Daraus folgt, dass diese Logik im System allen strengen Wissenschaften in der logischen Anordnung vorausgehen muss. Ferner folgt, dass zum Aufbau der Logik selbst keine andere strenge Wissenschaft verwendet werden darf. Elemente, welche zum synthetischen Aufbau eines Wissenschaftsgebietes nötig sind, müssen in ihrer Gewinnung ihrer Verwendung pragmatisch vorausgehen.

Das PO-Prinzip als solches setzt natürlich den Wunsch voraus, überhaupt eine derartige Ordnung bei der Aufstellung einer Wissenschaft einzuhalten. Dieser Wunsch fliesst aus dem Willen, eine Wissenschaft zu errichten, in welcher eindeutige Schlüsse möglich sind. Denn eine Verletzung des PO-Prinzips führt zu der Gefahr, dass das Element E einmal aus F ableitbar ist, ein andermal aber F aus E, ohne dass F und E identisch sind (logische Zirkel und Diallelen, schon bei Aristoteles). Ist dieser Ordnungswille vorhanden, so wird das vermieden.

10) Wird dieser Gesichtspunkt zur vollen Konsequenz getrieben, dann muss ein Aufbau der gesamten strengen Wissenschaft entstehen, der von einem Punkt seinen Ausgang nimmt, wo überhaupt noch nichts logisch Bindendes vorausgeht (»Nullpunkt«). Mit diesem Aufbau habe ich mich seit Jahrzehnten beschäftigt (kürzere Übersicht in m. Grundriss der methodischen Philosophie, Kempten i. Allg. 1949). Das PO-Prinzip gilt nicht nur für die Einzelschritte unserer geistigen Aufbauhandlungen, sondern genau so für die Planung der zugehörigen manuellen Handlungen und für deren Ausübung selbst. Schon daraus zeigt sich wieder, dass das Prinzip transdiskursiv ist.

Schon bei sehr einfachen Handlungen findet das PO-Prinzip Verwendung. Wenn ich aus meinem verschlossenen Koffer den Mantel holen will, dann muss ich den Koffer zuerst aufsperren. Umgekehrt geht es nicht. Wenn es also nötig ist, um eine Handlung Z auszuführen, zuerst die Handlung H auszuführen, dann bediene ich mich bei der geistigen Planung von Z des PO-Prinzips. Diese Anordnung leistet mein Geist in dem anschaulichen Planen des Alltags ohne weiteres. Wenn ich an meinem Schreibtisch etwas schreiben will, so ergreife ich zuerst den Federhalter. Das bewusste Denken gliedert die beschlossene Handlung Z in Einzelschritte auf, die nach dem PO-Prinzip geordnet und nach dieser Ordnung ausgeführt werden.

Diese Planung ist eine geistige Tätigkeit. Sie besteht offenbar nicht aus Schlüssen nach einer Schlussfigur. Sie besteht in dem anschaulichen Wissen um die Vorbedingungen, die erfüllt sein müssen, um Z ausüben zu können. In den einfachen Fällen sind sie mir in der Vorstellung gegenwärtig. Zu diesen Vorbedingungen gehören in unserem Beispiel: dass der Mantel überhaupt im Koffer liegt, dass der Koffer für mich erreichbar ist, dass ich meine Hand bewegen kann, dass das Schloss funktioniert usw. Sind diese erfüllt, so bleibt vielleicht die einzige Vorbedingung, dass ich den Kofferschlüssel habe. Ist diese erfüllt und benutzt, so ist Z ausführbar. Wir stellen uns also die gewollte Handlung in ihrer Ausführung vor. Dort, wo wir eine Hemmung finden, suchen wir einen Weg, sie zu beseitigen usw.

Ist der auszuführende Plan nach dem PO-Prinzip fertig gedacht, dann kommen die Überlegungen, die zu der Ordnung der Schritte geführt haben, in dem Plan nicht mehr explizit vor. Der Plan hat aber nunmehr die Eigenschaft, dass er ohne Hemmnis ausgeführt werden kann.

Das Denken nach dem PO-Prinzip ist also ein Zieldenken, teleologisches Denken, das ist etwas anderes als das einfach progressive Denken des rein deduktiven Schliessens. Unter den Schlussfiguren der Logik gibt es keine teleologischen Schlussweisen. Ist der Plan fertig, so kann er im rein progressiven Denken durchlaufen und etwa manuell ausgeführt werden.

Würde jemand zum Beispiel die Logik auf die Psychologie gründen wollen, dann wäre zu sagen: Die Psychologie als Wissenschaft bedarf selbst der Logik. Also würde zur Begründung der Logik selbst schon Logik nötig sein. Das aber widerspricht dem PO-Prinzip. Also kann zur Begründung der Logik Psychologie als Wissenschaft nicht verwendet werden. Oder: Wenn der Koffer durch den Schlüssel geöffnet werden soll, sich aber der Schlüssel in dem verschlossenen Koffer befindet, so widerspricht die Öffnung des Koffers mittels des Schlüssels dem PO-Prinzip. Das Ziel, den Koffer mittels dieses Schlüssels zu öffnen, ist also unmöglich und widerspruchsvoll. Die Anwendung des PO-Prinzips ist also in praktischen Fällen transdiskursiv.

Formal ist dabei nur das transitive Gesetz der Bedingtheit: (Wenn B den Schritt A bedingt) und (C den Schritt B bedingt), dann bedingt C den Schritt A. Diese Transitivität ist mit der Transitivität des »zeitlich später« identisch.

Wird rein progressiv-synthetisch gearbeitet, ohne andere Zielbildung als der des progressiven Fortschreitens, so bedarf es keiner Anwendung des PO-Prinzips. Bei der Auffindung eines Beweises was eine zielgerichtete Tätigkeit ist, wird es dagegen häufig angewendet. Der Ort, wo das Prinzip fundamental ist, ist der Bereich des »allgemeinen Denkens«, der Philosophie, des »Voraxiomatischen«, des Praktischen und Wirklichen. Dort ist es das entscheidende operative Prinzip. Wird das Prinzip verbunden mit dem Willen zu einem synthetischen Aufbau aller volleindeutigen Begriffsbildungen (also von dem obigen Nullpunkt aus), so entsteht das, was ich das »eindeutigmethodische System« oder die s-Wissenschaft genannt habe (s. Grundriss).

Wird das PO-Prinzip innerhalb der Mathematik, besonders bei axiomatischen Untersuchungen angewendet, so würde es insoweit zur sogenannten »Metamathematik« zu rechnen sein.

Ein sehr wichtiger Punkt zur Erfüllung des PO-Prinzips ist die Unterscheidung, dass eine Handlung H »aktiv« oder auch »passiv« sein kann. Wird H irgendwie von uns betrachtet, untersucht, analysiert usw., dann ist H Objekt unserer geistigen Tätigkeiten, unseres bewussten geistigen Tuns. Wird H dagegen selbst ausgeübt, dann ist H im Moment dieses Handelns nicht Objekt, sondern steht ganz auf der Seite des Subjekts. Das ist der fundamentale Unterschied zwischen einem vorgestellten Handeln und einem wirklich ausgeübten Handeln. Dieser Unterschied macht sich am unmittelbarsten geltend beim Willen selbst. Ich unterscheide daher »aktiven« und »passiven« Willen. Ein passiver Wille ist ein solcher, der momentan nicht aktiv ist. Ein aktiver Wille kann niemals Objekt sein. Denn in dem Moment, wo er zum Beispiel untersucht usw. wird, ist er nicht mehr aktiv, ist Objekt geworden, und die Aktivität liegt jetzt in der Tätigkeit des Untersuchens und ist für ihn verschwunden. Im Moment seiner Ausführung aber erfüllt der aktive Wille die ganze Willenssphäre der Person, des Ich, so dass nicht gleichzeitig ein anderer Wille aktiv sein kann. Dies nämlich würde eine Spaltung der Einheit der Persönlichkeit bedeuten. Der Satz über die Einheit des Willens ist eine Tautologie, da das Wissen um die aufeinanderfolgenden Willensakte den primären Zeitbegriff darstellt. (Siehe m. Methode der Physik, München 1938, S. 114 ff.) Ein vergangener oder zukünftiger Wille von mir, sowie jeder Wille eines anderen ist für mich stets passiv, das heisst ein vorgestellter Wille. Nur mein eigener momentan ausgeführter Wille ist aktiv.

Hierher gehört ein weiterer wichtiger Punkt des PO-Prinzips. Um einen momentanen Willen seinem Inhalt nach auszuführen, bedarf ich gewisser »Fähigkeiten«, die mir unmittelbar zur Verfügung stehen. Ich nenne sie »Grundfähigkeiten«. Denken wir uns in die Lage, wo wir uns (etwa durch Betrachtung von gewissen Umständen) einen neuen Begriff bilden. Dann ist in diesem Umstand, dass wir das »können«, eine Gruppe von Fähigkeiten tätig, die wir schon mitbringen, die wir haben müssen. Diese Fähigkeiten sind dann sozusagen Instrumente dieses Willens. Sie werden unmittelbar benutzt und ausgeübt und sind in diesem Augenblick aktiv. Sie sind daher als solche niemals »logische Voraussetzung«. Nach dem Gesagten ist es unmöglich, diese Fähigkeiten zugleich etwa wissenschaftlich zu analysieren. Denn dazu müssten sie Objekt sein, sie sind aber in diesem Moment aktiv. (Ich benutze etwa zu dieser Begriffsbildung: Erinnerung, Vergleichung, Denken usw. als aktive Grundfähigkeiten.) Es ist ersichtlich, dass allein diese Einsicht uns davor schützen kann, zu fragen, ob wir bei dieser Tätigkeit nicht vielleicht etwas »voraussetzen«. Bei aktiver Verwendung kann diese Frage gar nicht gestellt werden, da sie verlangen würde, dass etwas Aktives zugleich passiv ist. Das aber ist wegen der Einheit des jeweiligen Willens unmöglich und wäre widerspruchsvoll. So kann etwa ein Begriff nur zuerst aktiv gebildet werden und kann dann erst Objekt einer Betrachtung werden. Die Grundfähigkeiten, die zu seiner Bildung verwendet wurden, sind also hier nicht logische Voraussetzungen des Begriffes. Ohne diese Einsicht würde ein undurchdringliches Gestrüpp vorhanden sein und es wäre niemals möglich, das PO-Prinzip zur Durchführung zu bringen. Es wäre unmöglich, irgendetwas an den Anfang des synthetischen Aufbaues zu stellen.

Was soeben hier gesagt wurde, sind Begriffsbildungen, die selbst keines Beweises bedürfen. Das Gesagte dient nur dazu, dem Leser diese Begriffsbildung verständlich zu machen und zu erleichtern. Hat er diese Begriffsbildung erfasst, so kann das Gesagte sozusagen ausgestrichen werden. Da diese Begriffsbildungen an das persönliche Haben des Lesers appellieren, so können sie nicht synthetisch aus anderen Begriffen aufgebaut werden, besitzen also keine »synthetische Definition«, sondern müssen sich an das persönliche Haben wenden. Es liegt also eine »Aufweisung« vor.

Mit diesen Unterscheidungen von aktivem und passivem Willen, aktiven und passiven Handlungen und aktiv ausgeübten Grundfähigkeiten erhalten wir erst die Möglichkeit zu einem synthetisch geordneten Vorgehen. Dadurch erst wird uns der Rücken frei, um den synthetischen Aufbau zu beginnen. Das dürfte die Bedeutung dieser Begriffsbildung sichtbar machen. Es ist einsichtig, dass bei der ersten Hereinnahme des Wirklichen in das strenge Denken gewisse neue Denkformen sich geltend machen müssen. Das operative Vorgehen, zu dem unsere Darlegungen gehören, kann (siehe m. Das physikalische Weltbild, Meisenheim am Glan 1952, S. 50 ff.) nicht selbst einem Wahrheitskalkül unterliegen, da operative oder imperative Aussagen an sich weder wahr noch falsch sind. Diese führen allerdings weiterhin zu wahrheitsfähigen Aussagen.

Zur Vermeidung von Missverständnissen sei noch bemerkt: Die vorstehenden Ausführungen sind nicht »Psychologie«. Sie bedienen sich zwar einiger Termini, die dann auch in der Psychologie auftreten. Dort aber finden sie sich in passiver Rolle, während sie hier in aktiver Funktion vorhanden sind. Diese Ausführungen dienen nur dem Aufweisen natürlicher, unmittelbarer Unterscheidungen, dienen zu deren Bewusstwerdung und nicht zu ihrer Untersuchung. Es sind operative Aussagen, die ein Handeln mit diesen, hier aktiven Fähigkeiten festlegen. Zur Wissenschaft der Psychologie gehören sie begrifflich nur als Objekte, das heisst in passiver Rolle.

 

(Schluss folgt.)

 

In: Dialectica 10 (1956), S. 80-93. 

 

GEOMETRIE UND WIRKLICHKEIT

von † Hugo DINGLER
(Forts. von N° 35/36)

 

III.

11) Wir wenden uns also zur Aufstellung einer Definition der Geometrie.

In meiner systematischen Aufstellung der eindeutigen rationalen Begriffsbildungen (s. Begriffe der vier sog. Idealwissenschaften) habe ich eine solche Definition gegeben (s. m. Aufsatz Über die letzten Wurzeln der exakten Naturwissenschaften, nach einem Wiener Vortrag vom 8.10.1941, Sonderveröffentlichung der Univer. Sternw. Wien, Bd. I, Nr. 2; kurz in Grundriss, Kap. VI). Ich kann hier nicht darauf eingehen, da ich hier den nötigen Unterbau nicht geben kann. Die sogleich zu gebende Definition ist mit dieser praktisch identisch. Um aber die Problematik hier behandeln zu können, soll die Definition in kürzerer, aber unmittelbar anschaulicher Form gegeben werden.

Um diese dem Leser nahe zu bringen, soll versucht werden ihre Entstehung in einer kleinen historischen Schau zu illustrieren, die nur hinführen und nichts beweisen soll.

Wir versetzen uns für einen Moment in die Lage der frühen Menschheit. Man hatte bemerkt, dass es in der freien Natur ungezählte Formen gibt. Man hatte auch gelernt, dass der Mensch in der Lage ist, natürliche Formen manuell zu ändern und andere zu schaffen. Da ist es verständlich, dass bei steigender Zivilisation allmählich das Bedürfnis auftrat, Formen zu haben, die man stets von Neuem in genau gleicher Weise reproduzieren kann, ohne etwa schon vorhandene Formen dabei benutzen zu müssen. Letztere konnte man ja nicht immer zur Hand haben. So wäre es in diesem Sinne am besten gewesen, aus der freien Natur selbst heraus genau reproduzierbare Formen gewinnen zu können. In der Tat gelang dies auch. Man wusste, dass feuchter Lehm in beliebige Formen gestaltet werden kann. So tritt wohl bei der Ziegelherstellung das Streben nach eindeutig reproduzierbaren Formen zuerst auf (s. oben Nr. 3). Beginnend mit einfachen Lehmklumpen mit flacher Unterseite gelangt man im 26. Jahrhundert v. Chr. Zu planparallelen Ziegeln (in Gestalt von flachen, rechtwinkeligen Parallelepipeden von gleicher Grösse). Damit ist erreicht, dass diese Ziegel sich in jeder Lage und mit jeder der beiden Flächenseiten ohne Lücke aufeinanderlegen lassen. Das aber ist, wie wir sahen, die charakteristische Eigenschaft der Ebene. (Wie die Herstellung im Einzelnen von statten ging, ist wohl unbekannt, braucht uns auch hier nicht zu beschäftigen).

12) Was ist hier geschehen? Man hat von einer Flächenart, die man sicher schon früher irgendwie gelegentlich grob vorfand und auch benutzt hatte, ihre charakteristische Eigenschaft als praktisch verwendbar gefunden – nämlich um zu erreichen, solche Ziegel in jeder Lage lückenlos aufeinanderlegen zu können. Diese charakteristische Eigenschaft war die völlige »Symmetrie« dieser Fläche.

Wenn wir uns heute überlegen, wo etwa eine Möglichkeit zu finden war, bei der Vielfalt der Naturformen und ihrem dauernden Wechsel und Wandel eine Form zu gewinnen, die immer wieder als gleiche hervorgebracht, immer wieder von Neuem aufgefunden werden konnte, so ist es einsichtig, dass nur die Symmetrie etwas derartiges leisten konnte. Dabei ist unter Symmetrie nicht der metrische Begriff dieses Namens verstanden, sondern die völlige Abwesenheit von räumlichen Verschiedenheiten der zwei Seiten einer Fläche, also die Möglichkeit, ihre beiden Seiten in jeder Lage ohne Zwischenraum zur Deckung zu bringen. Genau das war ja auch der Sinn der obengenannten Herstellung einer Ebene durch das Dreiplattenverfahren, der Sinn des dabei benutzten Schleifprozesses.

Es ist in der Tat kein Weg zu sehen, wie man auf andere Weise der Forderung genügen sollte, genau reproduzierbare Formen, die für uns gestaltlich ununterscheidbar sein sollen, immer wieder von neuem auffinden und herstellen zu können. Man muss sich klar werden, dass von der Natur aus keine Mittel hierfür vorliegen. Ein Längenmass zum Beispiel muss real an andere weitergegeben werden, wenn es sich verbreiten soll. Die Ebene dagegen kann unabhängig an jedem Ort neu erfunden werden und ist trotzdem identisch. Die Hilfsmittel, um solche Symmetrie zu erkennen, trägt der Mensch in seiner Verschiedenheitswahrnehmung stets mit sich. Von hier aus kann er diese Ebene immer identisch wiederfinden. Hier hat er zum ersten Mal eine Form, die er ohne Hilfsmittel anderer fester Formen sich überall wieder verschaffen und als identisch wiedererkennen kann. Das aber ist der erste Anfang dazu, dass der Mensch ein garantiertes Verfahren entdeckt, das nicht an den Ort oder an individuelle Körper gebunden ist, um eine genaue Raumform stets reproduzieren zu können. Hier also liegt der Ausgangspunkt der Möglichkeit, später dann Raumformen überhaupt eindeutig bestimmen, vergleichen und reproduzieren zu können (was dann alle exakt messende Naturerforschung erst möglich macht).

Haben wir dies als menschliches Bedürfnis einmal verstanden, dann wissen wir auch, was »Geometrie« ist, beziehungsweise sein soll. Sie ist die Möglichkeit der eindeutigen Bestimmung von Formen in der Wirklichkeit, auf eine Weise, dass diese Bestimmung nur von uns selbst abhängt, und so, dass diese Formen stets genau wieder gefunden und wiederhergestellt werden können. Da das einzige erkennbare Mittel hiezu eben die Symmetrie ist, so können wir versuchen einmal zu definieren:

Geometrie bedeutet das Bestreben eine Möglichkeit zu finden, in der fliessenden Wirklichkeit eindeutige, stets aus der freien Natur ohne äussere Hilfsmittel wiedergewinnbare, reproduzierbare Formen festzulegen, soweit, dass schliesslich dadurch die Deformationsfreiheit eines Körpers definiert ist. Das alles unter möglichster Verwendung der Symmetrie.

Es ist klar, dass es eine Deformationsfreiheit »an sich« nicht geben kann. Denn Deformation kann nicht etwas sein, was in sich selbst ruht. Sie kann nur etwas sein im Hinblick auf einen Beschauer, der die Deformation irgendwie bemerkt. Denn wenn eine Deformation überhaupt nicht bemerkbar wäre, so läge für den Beschauer keine Deformation vor. Diese hängt also allein an der irgendwie gearteten, direkten oder indirekten Bemerkbarkeit. Also muss die Deformationsfreiheit oder Konstanz der Formen relativ zu uns definiert sein. Sie muss also definiert werden durch die Abwesenheit von Unterschieden. Das aber führt anschaulich in erster Linie zur Symmetrie. (Meine obenerwähnte Definition der Geometrie von 1941 bedient sich lediglich des Mangels an Unterschieden.)

Die Gerade ist definiert als Schnitt zweier Ebenen. Wird also an einen Körper, der eine Ebene trägt, an der Seite eine zweite Ebene angeschliffen, so ist der Schnitt beider Ebenen eine Gerade. Damit ist also auch die Gerade durch die Symmetrie definierbar.

Diese Definitionen von Ebene und Gerade sind »ideell genau«. Diese Definitionen sind nämlich in ihrer Formulierung unabhängig von der Genauigkeit, mit der die gestaltlichen Unterschiede der beiden Seiten jeweils bemerkt oder entfernt werden können. Diese Definitionen gelten also für beliebige Genauigkeit, also auch für absolute Genauigkeit. Damit ist ihr ideeller Charakter gegeben.

13) Die Geometrie, wie sie durch unsere Definition bestimmt wurde (wir wollen sie als »Definitions-Geometrie« bezeichnen, kurz: Def. Geom.), liegt nicht in der Natur. Sie ist ein Produkt des Menschen, zu seinen praktischen Zwecken erfunden.

Man kann gewiss nicht behaupten, dass es ein Fehler sei, eine Definition der Geometrie zu verlangen. Viel eher wäre Grund zu der Aussage, dass es ein logischer Fehler sei, sie nicht anzustreben. Denn die Logik sagt uns, dass nur eine Definition die Möglichkeit gibt, fundierte Aussagen über einen Begriff zu machen.

Man hatte einen logischen Schematismus als »Geometrie« bezeichnet. Wir sahen aber vorhin, dass dieser Schematismus nicht in der Lage war, die Formen, die man in der Wirklichkeit de facto als Geometrie benutzte, eindeutig zu bestimmen. Diese wirkliche Geometrie vermochte der Schematismus nicht eindeutig zu definieren. Da es aber eine andere Definition nicht gab, so bestand überhaupt keine begriffliche Definition der Geometrie. Sollte aber, wie viele meinten, diese Geometrie durch »Messung« definiert sein, so besagte das, dass in dieser Messung, nämlich in ihren Mitteln, den Messapparaten, implizit eine Definition der Geometrie enthalten sein müsse. Denn sonst hätte die Herstellung dieser Apparate niemals zu (innerhalb der Genauigkeit) eindeutigen Resultaten führen können, was sie doch tat. Es war aber diese Messung völlig ungeklärt, besonders darin, wie viel dabei von uns selbst stammte, wie viel etwa aus einer angeblichen Naturbeschaffenheit. So war in der Tat keine eindeutige Definition der Geometrie vorhanden.

Der Positivismus sieht in der Geometrie irgendwelche analytische Schematismen und frägt nur, welcher davon in einer bestimmten realen Situation am nützlichsten verwenbar sei (s. z.b. das scharfsinnige Buch von A. J. Ayer, Language, Truth and Logic, London 1951, S. 83). Da aber muss gefragt werden: Wozu und wie wird dann überhaupt eine Geometrie von der übrigen theoretischen Physik abgegrenzt? Auch hier fehlt also die genaue Definition der Geometrie. Auch gibt diese Auffassung keinerlei Verbindung zu dem technischen Verfahren.

Eine solche Definition konnte erst gegeben werden, wenn erkannt war, welches denn »der Sinn« der Geometrie sein sollte.

Wir erhalten ein logisch unverbrüchliches Resultat: Damit das, was mit dem Terminus Geometrie in geistiger und wirklicher Hinsicht gemeint war, überhaupt »logisch existent« sei, muss dieser Terminus eine eindeutige Definition erhalten. Erst dann hat es einen exakten Sinn, etwas über die Geometrie auszusagen.

14) Nachdem uns die logische Notwendigkeit einer Definition der Geometrie klar geworden ist, erheben sich sogleich zwei prinzipielle Schwierigkeiten: a) dass wir hier überhaupt mit einer Definition arbeiten und anfangen sollen, b) bezüglich der näheren Beschaffenheit dieser Definition.

a) Der Schematismus S der theoretischen Geometrie (wir denken uns ihn in Gestalt der Hilbertschen Axiome) hatte zur Grundlage eine Gruppe von Axiomen. Es lag also ein HD-System vor. Von diesem System S aus haben sich die Aussagen über HD-Systeme in ersten Linie entwickelt. S war seit Euklid das Muster einer deduktiven Wissenschaft und es ist das unvergängliche Verdienst von Hilbert und seiner Schule (P. Bernays, Arnold Schmidt u.a.), dieses S in exakteste Form gebracht zu haben. Hier aber stossen wir auf die Möglichkeit, ja Notwendigkeit, dass die Geometrie nicht von Axiomen, sondern von Definitionen ausgehe.

Es müsste also ein solcher Aufbau konkret durchgeführt und gezeigt werden, wie aus diesen Definitionen der Aufbau der Geometrie exakt durchführbar ist. Einen ersten Versuch in dieser Richtung, vielfach noch in unvollkommener Gestalt, habe ich in meinen Grundlagen der Geometrie (Stuttgart 1933) unternommen. Eine exakte Durchführung liegt seit zehn Jahren vor, konnte aber noch nicht gedruckt werden. Hier muss ich mich damit begnügen, über die allgemeine Möglichkeit eines solchen Aufbaues einige Schlüsse zu ziehen. Auch diese können dort schon auf logische Stringenz Anspruch machen, wo sie aus dem Sinn des Logischen überhaupt fliessen. Das aber führt auf die zweite Schwierigkeit.

b) In einem HD-System gibt es zwei Arten von Begriffen: Erstens solche, die in den Axiomen auftreten; wir nennen sie Grundbegriffe des HD-Systems. Zweitens solche, die aus den Grundbegriffen exakt definiert sind. Wir nennen sie synthetische Begriffe.

Die Grundbegriffe besitzen im HD-System keine Definition. Denn sie haben ja in dem System keine Begriffe, die ihnen vorausgehen und aus denen sie definiert werden könnten. Die synthetischen Begriffe treten nur nach den Axiomen, innerhalb des Aufbaues auf. Sie werden aus den Grundbegriffen definiert, das heisst logisch aus diesen aufgebaut.

Wenn man nun aber fordert, statt mit einem Axiomensystem mit Definitionen zu beginnen, so erhebt sich die Frage, welcher Art sind dann die in diesen grundlegenden Definitionen (Grunddefinitionen) auftretenden Begriffe? Es ist klar, dass eine Grunddefinition einen definierten Begriff enthalten muss. Aber die Begriffe, mittels deren letzterer definiert wird, welcher Art sind diese? Offenbar können es keine synthetisch definierten Begriffe sein, denn sie treten ja ohne exakten Hintergrund und zum ersten Male im Aufbau auf.

Da es vor den Grunddefinitionen keine logisch geklärte Wissenschaft gibt, so können sie nur aus der »Sprache des täglichen Lebens« (Tagessprache) genommen sein. Von solchen ist aber bekannt, dass sie keine synthetische Definition besitzen. So scheint also unser Unternehmen hier vor einer Schwierigkeit zu stehen, die seine Durchführbarkeit unmöglich macht. Es ist daher entscheidend, diesen Punkt zu untersuchen.

15) Damit also eine Grunddefinition möglich sei, muss es einen direkten Übergang von der Tagessprache zu eindeutigen Begriffen geben, oder solche müssen in der Tagessprache selbst vorhanden sein. Da dieser Übergang nach unseren bisherigen Überlegungen zugleich die Verbindung mit der Wirklichkeit liefern muss, so muss die Grunddefinition eine »operative Definition« sein, das heisst eine solche, welche die Gewinnung der definierten Begriffe in der Wirklichkeit liefert, das heisst seine »Realisierung«. Diese Grunddefinition muss also zugleich eine »Handlungsanweisung« sein. Zugleich muss sie als »Axiom« wirken, da logische Schlüsse aus ihre gezogen werden sollen.

Eine Möglichkeit des eindeutigen Übergangs von der Tagessprache zur Wirklichkeit besteht darin, dass in einer Grunddefinition Worte der Tagessprache gebraucht werden, welche in ihrer Bedeutung so allgemein sind, dass sie für den praktischen Gebrauch völlig eindeutig sind. So ist der Begriff »Etwas« derart inhaltsleer, dass er als eindeutig bezeichnet werden muss, trotzdem er keine verbale Definition besitzt. Ebenso etwa die Begriffe: verschieden, veränderlich, Grenze eines Etwas, Körper, gemeinsam haben, enthalten sein, Teil, Punkt. In solchen Worten liegt eine unmittelbar eindeutige Verbindung des Begrifflichen mit dem Inhaltlichen und Wirklichen vor, so dass sie in der Tagessprache bereits eindeutig sind.

Es besteht aber auch eine Möglichkeit, mittels der Tagessprache (in der bescheidenen Ausdehnung, die hier in Frage kommt) Bestimmungen zu formulieren, die für jede Genauigkeit ausgesprochen sind, das heisst also für absolute oder ideale Genauigkeit, die also eine eindeutige Idee definieren. Nehmen wir als Beispiel die obige Definition der Ebene mittels der Symmetrie. Diese Symmetrie bedeutet die Abwesenheit von gestaltlichen Unterschieden der beiden Flächenseiten, das heisst ihre »Kongruenz« in jeder Lage. Diese Forderung bedient sich einer Art von Worten der Tagessprache, die wir als »Absolutworte« bezeichnen wollen. Sie fordert zum Beispiel »Abwesenheit«, das heisst dass keine Unterschiede vorhanden sind und fordert dies für jede Lage. Diese Forderung ist so ausgesprochen, dass sie für jedes Mass von Genauigkeit gilt, also gilt sie auch für die völlige oder absolute Abwesenheit. Eine Fläche dieser Art ist in der Wirklichkeit nicht möglich, da eine absolute Abwesenheit empirisch gar nicht festgestellt werden kann. Das ist aber das Kennzeichen einer Idee. Es ist also in gewissen Fällen möglich, mittels der Tagessprache eine Idee ideell zu definieren. Es geschieht durch Verwendung von Absolutworten: alle, jede, kein, immer, nie, usw. sowie der »natureindeutigen« Begriffe, von denen soeben die Rede war.

Mit Hilfe dieser Definitionsart, sowie dieser Worte und der Absolutwörter ist es in der Tat möglich, eine deduktive Wissenschaft der Geometrie auf Definitionen zu fundieren.

So kann man in der Def. Geom. Axiome aussprechen, die inhaltlich unmittelbar eindeutig verständlich sind und den Charakter von Definitionen tragen. Um nur einige ganz kurze Beispiele zu geben: Jeder Körper ist begrenzt durch eine Fläche. Gehört ein Punkt der Fläche an, so gehört er nicht dem Körper an und umgekehrt. In einer Fläche ist niemals ein Körper enthalten, usw. Auf einem Unterbau dieser Art können dann die operativen Definitionen der Ebene usw. eingeführt werden. Die verwendeten Begriffe der Tagessprache werden dann durch nähere Bestimmungen, die als definierende Axiome auftreten, ihrer idealen Form zugeführt. Die Geltung der dabei verwendeten rein qualitativen Axiome ist dann durch die Bedeutung der Worte in der Tagessprache unmittelbar gesichert.

Dies alles kann hier nur in vager Form angedeutet werden. Doch dürfte soviel erreicht sein, dass ersichtlich wird, dass hier ein Weg vorliegt, der es verdient, verfolgt zu werden.

Man erkennt, dass die Def. Geom. Keine ontologische Existenz mehr besitzt. Diese metaphysische Behauptung fällt hier von selbst weg und mit ihr die damit verbundenen unlösbaren Probleme. Dafür besitzt sie eine methodische oder operative Existenz.

Auch die vorstehenden Darlegungen gehören zum transdiskursiven Bereich.

Ein weiteres Hemmnis, die Def. Geom. Als möglich zu sehen, war sicherlich die Meinung »alle Definitionen sind relativ«. Also musste man schliessen: »Eine Definition der Objekte selber ist nicht denkbar« (Wellstein, l. c. S. 121). Für Definitionen innerhalb eines HD-Systems, das heisst für »synthetische Definitionen« trifft dieser Satz zu. Nimmt man aber eine operative Definition, die sich zum Definieren solcher Begriffe der Tagessprache bedient, die dort eindeutig praktisch verstanden werden, dann kann diese Definition »pragmatisch absolut« sein, wie wir uns ausdrücken wollen. Der Einwand Wellsteins fällt somit hinweg.

Es gibt also innerhalb der Tagessprache einige Begriffe, die so allgemeiner Art sind, dass sie in ihrer Bedeutung unmittelbar praktisch verstanden und gebraucht werden. Beschränkt man sich auf die Verwendung solcher Begriffe, so ist in ihnen eine eindeutige Verbindung mit der Wirklichkeit möglich.

16) Da wir hier den exakten synthetischen Aufbau der Def. Geom. Nicht geben können, vielmehr nur einige Schlüsse, welche die mögliche Existenz dieser Geometrie kenntlich machen sollen, können nur noch einige Hinweise angefügt werden.

Es konnte aus dem Sinn des Logischen die Notwendigkeit einer Definition der Geometrie deutlich gemacht werden. Es konnte ferner auf die nüchterne Tatsache hingewiesen werden, dass die Technik der Präzisionswerkzeugherstellung eine implizite Def. Geom. benutzt, die bisher nur der genauen begrifflichen Fassung ermangelte. Es konnte gezeigt werden, dass in dieser Technik die Grundformen der Geometrie, Ebene und Gerade, tatsächlich auf Grund von impliziten[2] Definitionen hergestellt werden, und dass es logisch klar ist, dass etwas anderes gar nicht möglich wäre, wenn auch die theoretische Geometrie zu diesen Definitionen bisher keinerlei Beziehungen besass. Das ist eine Lage, die naturgemäss dringend einer Klärung bedarf und auf den Versuch hindrängt, diese technischen Verfahren mit der Theorie in die notwendige direkte Verbindung zu bringen. Denn zuletzt will ja Geometrie etwas über Wirklichkeit aussagen, wenn auch nicht über etwas ontologisch, sondern etwas operativ Wirkliches. Und diese technischen Verfahren sind das Grundlegendste und in der Tat Einzige, was wir über die Beziehung zwischen Geometrie und Wirklichkeit wirklich besitzen. Alle Aussagen und philosophischen Theorien über »das Wesen der Geometrie« sind unverbindlich und vorläufig, solange diese Kluft zwischen Theorie und Technik nicht geschlossen ist. Es wahrscheinlich zu machen, dass diese Kluft geschlossen werden kann, ist das Ziel dieses Aufsatzes.

Es kann aber schon mit den hier vorgelegten Mitteln noch etwas mehr gesagt werden. Wenn wir also verbale Definitionen von Ebene und Gerade besitzen, welche das technische Verfahren in Worte fassen und gewiss eindeutig sind, dann folgt aus dem Sinn der Logik, dass es möglich sein muss, aus diesen Definitionen alle in ihnen enthaltenen und durch sie bestimmten Eigenschaften dieser beiden Grundbegriffe logisch abzuleiten. Wir wissen, dass jede echte Deduktion aus Prämissen durch kategoriale Umformung dieser Prämissen erfolgt, also implizit in diesen Prämissen schon enthalten ist. Da diese Definitionen von Ebene und Gerade diese Formen sowohl begrifflich als auch operativ-manuell eindeutig bestimmen, so muss aus ihnen jede allgemeine Eigenschaft dieser Formen in rein logischem Verfahren gewinnbar sein (also etwa die Axiome der Verknüpfung). Mehr können wir auf der hier gegebenen Basis nicht beweisen.

1) Aber die Feintechnik stellt nicht nur Ebenen und Geraden her. Sie gewinnt auch den »deformationsfreien Körper« (df. K.). Sie muss also auch für diesen eine implizite Definition besitzen in den technischen Verfahren, die sie bei seiner Prüfung anwendet.

Die theoretischen Forschungen zu den Grundlagen der Geometrie haben bewiesen, dass die Begriffe von Ebene und Gerade noch nicht hinreichen, die vollständige Geometrie, die sogenannte Massgeometrie festzulegen. Es fehlten noch Elemente, die auch ein »Parallelenaxiom« enthalten.

Man kann nämlich den df. K. nicht, wie es versucht wurde, sozusagen »von hinten her« definieren, indem man etwa »alle« Einwirkungen von ihm fernhält, welche Massveränderungen an ihm hervorrufen. Um nämlich solche festzustellen, bedarf es schon des df. K., also seiner Definition. (Die Deformationsfreiheit ist ja eine rein geometrische Eigenschaft. Der df. K. braucht also keineswegs »starr« zu sein. Nur aus praktischen Gründen nehmen wir für den technischen Gebrauch meist Körper, die nebenbei auch schwer deformierbar sind. Aber auch ein flüssiger Körper kann momentan ein df. K. sein.) Ausserdem kann niemals gesagt werden, dass wir »alle« deformierenden Einflüsse kennen und beherrschen. Es muss also eine direkte Definition des df. K. geben. Diese muss nach dem PO-Prinzip der Feststellung verändernder Einflüsse vorausgehen, sobald bewusst gearbeitet wird. Diese Definition muss aus logischen Gründen implizit in dem Verfahren stecken, mit dem Massveränderungen festgestellt werden.

Eine genaue Betrachtung der einschlägigen technischen Verfahren zeigt, dass auch hier eine implizite Definition des df. K. vorliegt, worauf hier nicht näher eingegangen werden kann.

Der deformationsfreie Körper ist theoretisch festgelegt, wenn die Bewegung einer starren Strecke im ganzen Raum definiert ist. Ist das erreicht, dann ist die volle Mass-Definitions-Geometrie gewonnen.

Werden nun die entscheidenden Elemente dieser Massgeometrie durch die Symmetrie definiert (Ebene und Gerade wurden schon behandelt, dazu kommen noch die Parallelität, der rechte Winkel usw.), dann sind diese Gebilde zugleich als Ideen und auch als Realisierung in der Wirklichkeit (je nach der momentan möglichen Genauigkeit) definiert. Realisierungen nach der Symmetrie aber sind durch die uns gegebene Unterschiedswahrnehmung stets ausführbar. Das aber heisst, dass hier eine volle eindeutige Entsprechung zwischen Idee und Wirklichkeit von vorneherein gewährleistet wäre, wie sie bisher nicht vorhanden war.

Der volle Existenzbeweis dieser operativen Def. Geom. Kann natürlich nur durch deren expliziten Aufbau geleistet werden, der hier nicht gegeben werden kann. Hier sollte nur das Problem »Geometrie und Wirklichkeit« nach allgemeinen wissenschaftstheoretischen und logischen Gesichtspunkten einmal wieder aufgeworfen und die hier vorliegenden Möglichkeiten ventiliert werden. Die explizite Durchführung muss einer späteren Publikation vorbehalten werden. Die vielfach neuen Gesichtspunkte, die dabei auftreten, werden gezeigt haben, dass hier eine Linie der Forschung vorliegt, die es verdient weiterverfolgt zu werden.

18) Das Bestreben, den Aufbau der exakten Wissenschaften so zu gestalten, dass von Anfang an die genaue Verbindung mit der Wirklichkeit gewonnen wird, ist heute noch ungewohnt. Es ist dem Mathematiker heute gewohnt, sich nur an den deduktiven logischen Schematismus zu halten. Das bedeutete eine notwendige Abstinenz, um zunächst einmal das Logische sauber herauszuschälen. Diese Tendenz wurde stark unterstützt durch die analytische Fassung der Geometrie, wie sie sich durch Descartes angebahnt hat. Nachdem diese Herausschälung aber erreicht ist, muss wohl versucht werden, den Zusammenhang mit dem Wirklichen nunmehr in bewusster und exakter Weise wieder herzustellen.

Das aber bedingt, wie wir sahen, die bewusste und geklärte Hereinnahme transdiskursiver, also im weitesten Sinn »metamathematischer« Elemente. Die genaue Verbindung mit der Wirklichkeit, und damit also mit der Technik, kann nur erreicht werden durch das Ausgehen von Definitionen und unter genauer Beachtung des PO-Prinzips. Geschieht dies in systematischer Weise vom »Nullpunkt« aus, dann ist jede Gefahr beseitigt, dass irgendwelche »Voraussetzungen« gemacht werden, welche die pragmatische Ordnung stören könnten. Denn wenn vom Nullpunkt aus jeder definierende, selbst unzerlegbare Schritt bewusst geschieht, im Sinne des PO-Prinzips (ausgehend von dem an sich absolut eindeutigen Begriff des »Etwas« – siehe die kurze Darlegung dieses Aufbaus in Grundriss, Kap. VI), dann ist jede Möglichkeit beseitigt, unbemerkte Voraussetzungen gemacht zu haben.

Wir können also sagen: Auf Grund des hier Dargelegten ergibt sich der Gedanke, dass wahrscheinlich ein exakt durchgeführter Aufbau der Def. Geom. Möglich sein wird, indem eine direkte und vollständige Verbindung mit der Wirklichkeit, im operativen Sinn unmittelbar in der Weise besteht, dass sie von nichtsynthetischen Definitionen ausgeht, die zugleich Herstellungsanweisungen darstellen, beruhend in erster Linie auf der oben besprochenen Symmetrie. Diese Geometrie würde damit eine volle Parallelität zwischen Theorie und Technik aufweisen. In dieser Geometrie würden alle Probleme der theoretischen und der wirklichen Geometrie zugleich gelöst sein. Hier konnte nur sozusagen der Plan einer solchen Forschung in einigen Linien zu zeichnen versucht werden.

19) Zum Schluss möge noch das Verhältnis der nichteuklidischen Geometrien zur Wirklichkeit gestreift werden. N. e. G. verdanken ihr Auftreten einzig und allein dem Umstande, dass keine Definition der Geometrie vorhanden war. Durch eine eindeutige Definition der Geometrie sind alle Abweichungen und Variationsmöglichkeiten von selbst ausgeschlossen.

Die Praxis der Technik hat ja nie einen solchen Zweifel gekannt, da sie von einer eindeutigen, wenn auch bislang impliziten Definition der Geometrie regiert wird. Bei ihr ist niemals der leiseste Zweifel aufgetreten. Im Gegenteil, hier ist jede Abweichung von der Def. Geom. das Kennzeichen, dass ein fehlerhaftes Stück vorliegt. Da aber die Definitionen, nach denen diese Geometrie arbeitet, unabhängig von der jeweiligen Genauigkeit sind, so gelten sie für jeden Grad von Genauigkeit, also für alle Zukunft. Hier kann also mit jeder Sicherheit ausgesprochen werden, dass niemals eine Abweichung von der Def. Geom. Auftreten kann und wird. Ist die Geometrie eindeutig definiert, so kann auch im Theoretischen kein Schematismus auftreten, der von dem dieser Geometrie abweichen würde, aber das Recht hätte als »Geometrie« bezeichnet zu werden.

20) Der endgültige Existenzbeweis der Def. Geom. wird durch die explizite Durchführung ihres Aufbaues geleistet werden müssen, die hier nicht zu geben war. Hier sollte nur das allgemeine Problem »Geometrie und Wirklichkeit« einer allgemeinen Betrachtung unter dem Gesichtspunkt des Operativen unterzogen werden. Die vielfach neuen Gesichtspunkte, die dabei auftreten, werden gezeigt haben, dass hier eine Linie der Forschung vorliegt, die es verdient weiterverfolgt zu werden.

 

Zusammenfassung

Durch die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrien entstand die Frage der Anwendung der Geometrien auf die Wirklichkeit. Diese Frage gehört nicht in die Mathematik. Die meisten Physiker sind der Anschauung, dass hier die Messung das entscheidende Wort zu sprechen habe. Dingler unterzieht deshalb das Verfahren der theoretischen Physik bei der Anwendung der Geometrie einer Analyse und stellt fest, dass es sich in acht Stufen aufbaut. Dingler zeigt dann, dass dieses Verfahren zu keinem Ziele führt. Er stellt dann sein eigenes, schon aus seinen früheren Schriften bekanntes Verfahren der praktischen Realisierung geometrischer Ideen in der Wirklichkeit dar, das auf die Methoden der Präzisionswerkzeugfabrikation (Dreiplattenverfahren) zurückgeht. Es gilt vor allem, den Begriff der Ebene (Geraden) in der Wirklichkeit darzustellen. Dingler gibt dann als Realisierung der Idee der Ebene eine Ebenendefinition, die von der Massgeometrie unabhängig ist und auch den Begriff des deformationsfreien Körpers nicht voraussetzt. Die »psychologische« Ableitung des Begriffs der Ebene bedeutet nicht, dass diese Idee etwa in der Natur »stecke«. In dieser »stecken« alle beliebigen Arten von Flächen. Entscheidend ist die bewusste Fassung des Definitionsgedankens und dessen Verwendung, um mit seiner Hilfe Flächen zu realisieren. Darin liegt nicht »Natur«, sondern eine Tätigkeit des Geistes. Es wird dann ein Aufbau der praktischen Geometrie angedeutet, der auf dem Prinzip der pragmatischen Ordnung beruht, welches die Aufeinanderfolge der einzelnen Handlungen, welche zur Aufstellung einer exakten Wissenschaft führen, regelt. Dieses Prinzip wird dann genauer begründet und dadurch auch die Frage nach den Voraussetzungen des genannten Aufbaus geklärt. Man kann dann auch eine Definition der Geometrie aufstellen, welche die Kluft zwischen Geometrie und Technik überbrückt. Diese Geometrie liegt also keineswegs in der Natur, ihre Grundlagen liegen in der Feintechnik, welche nicht nur Ebenen und Gerade, sondern auch deformationsfreie Körper herzustellen vermag. Über das Verhältnis der nichteuklidischen Geometrien zur Wirklichkeit sagt Dingler: »Nichteuklidische Geometrien verdanken ihr Auftreten einzig und allein dem Umstand, dass keine Definition der Geometrie vorhanden war.« Durch eine eindeutige Definition der Geometrie sind alle Abweichungen und Variationsmöglichkeiten von selbst ausgeschlossen.

 

 

[1] Ebenso kurze Erwähnung bei H. Poincaré, Science et Méthode, Paris 1908, S. 145.

[2] Die Verwendung dieses Wortes ist hier natürlich eine andere als in der von Hilbert (s. o. Nr. 3). Bei Hilbert ist die Definition durch das Axiomensystem impliziert, hier in bestimmten Handlungen.

 

 

In: Hugo Dingler: Gesammelte Werke auf CD-ROM, im Auftrag der Hugo-Dingler-Stiftung, Aschaffenburg, herausgegeben von Ulrich Weiß unter Mitarbeit von Silke Jeltsch und Thomas Mohrs, Verlag Karsten Worm InfoSoftWare, Berlin 2004 [Formatreduzierter Reintext-Auszug aus der CD-ROM-Ausgabe. CD-ROM-Sigle: 256].

 

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